Kapitel 1 - Kraft och rörelse

Videosammanfattning

Nyckelfrågor

• Vad är vridmoment/kraftmoment/moment?

  En krafts vridande förmåga är hur mycket den kan vrida något runt en axel. Detta beror dels på kraftens storlek, men även hävarmens längd.

  $M=F\cdot l$

  där $F$ är kraften och $l$ hävarmen. Kraften och hävarmen är vinkelräta mot varandra.

  

• Vilka är förutsättningarna för ett jämviktsläge?

  1. Kraftjämvikt. Alltså att $F_{res}=0$.

  2. Momentjämvikt. Alltså att $\stackrel{\curvearrowleft}{M}=\stackrel{\curvearrowright}{M}$

  

• Hur fungerar en hävarm/momentarm?

  Det vridmoment som krävs för att exempelvis lossa en mutter är konstant. Om man vill minska den kraft som krävs kan man öka längden av momentarmen eller vice versa.

  

• Vad är centripetalkraft och var är centripetalacceleration?

  När ett föremål rör sig med konstant fart längs en cirkelbana påverkas den av en resulterande kraft som pekar in mot cirkelbanans mitt. Denna kraft kallas för centripetalkraft.

  Då vi har en resulterande kraft har vi då även en acceleration in mot banans mitt enligt Newtons andra lag: $F_{res}=ma \implies a=\frac{F_{res}}{m}$. Denna kallas centripetalacceleration.

  $a_c=\frac{v^2}{r}$ och $F_c=\frac{mv^2}{r}$

  

• Vad är en kaströrelse?

  En kaströrelse är rörelse i två dimensioner och kan ses som kombinationen av två oberoende rörelser: en lodrät rörelse med konstant acceleration och en vågrät rörelse med konstant hastighet.

  Rörelsen i x-led är oberoende den i y-led vilket gör att vi kan räkna på dessa separat. Detta medför också att en kula som släpps från samma höjd som en likadan kula som skjuts ut rakt horisontellt kommer att träffa marken samtidigt! Detta på grund av att de båda enbart påverkas av en tyngdkraft i y-led.

  

Begrepp

• Kraftmoment

  • Vad är kraftmoment/vridmoment/moment?

    En krafts vridande förmåga. Hur mycket en kraft bidrar till att ett föremål rör sig kring en axel.

    $M=F\cdot l$

    där $F$ är kraften och $l$ hävarmen. Kraften och hävarmen är vinkelräta mot varandra.

    

  • Vad är hävarm/momentarm?

    Det kortaste avståndet från momentpunkten $O$ till en linje som går genom kraften. Samma kraft med en längre hävarm utgör ett större vridande moment.

    Kraften och momentarmen är vinkelräta mot varandra.

    

  • Vad är momentpunkten?

    Den punkt kring föremålet vrider sig. Betecknas $O$.

    

  • Beskriv momentjämvikt.

    Momentjämvikt uppnås då summan av alla vridande moment är lika med noll. Föremålet roterar då inte kring någon axel och befinner sig i vila.

    $\sum M =0$

    

  • Vad är momentlagen?

    Om ett föremål är i vila och inte roterar gäller momentlagen.

    $\stackrel{\curvearrowleft}{M_1}=\stackrel{\curvearrowright}{M_2}$

    Där $\stackrel{\curvearrowleft}{M_1}$ är summan av alla vridande moment moturs.

    Där $\stackrel{\curvearrowright}{M_2}$ är summan av alla vridande moment medurs.

  • Vad är tyngdpunkt?

    Den punkt där hela föremålets massa kan koncentreras. Det är utifrån tyngdpunkten som tyngdkraften verkar. Detta är en förenkling men fungerar i beräkningar.

    

  • Vilka är kraven för att ett föremål ska vara i jämvikt?

    1. Den resulterande kraften måste vara noll $F_{\mathrm{res}}=0$

    2. Föremålet måste befinna sig i momentjämvikt $\stackrel{\curvearrowleft}{M}=\stackrel{\curvearrowright}{M}$

       

  • Varför kan man godtyckligt placera ut momentpunkten på föremål som befinner sig i jämvikt?

    Då föremålet inte vrider sig kan man sätta vilken punkt som helst som momentpunkt

    

  • Om ett föremål har sin tyngdpunkt innanför stödjeytan, vad är det då?

    I jämvikt!

    

  • Hur hanterar man tyngdpunkten vid räkneexempel?

    

  • Hur bestämmer man kraften i ett snöre?

    

  • Hur går man till väga med vridmoments-uppgifter?

    1. Rita ut krafter, dra slutsats

    2. Välj vridaxel

    3. $\stackrel{\curvearrowleft}{M_1}=$

       $\stackrel{\curvearrowleft}{M_2}=$

    4. $\stackrel{\curvearrowleft}{M_1}=\stackrel{\curvearrowright}{M_2}$

       

• Centralrörelse

  • Vad är centripetalrörelse?

    När något färdas med konstant fart längs med en cirkelbåge.

    

  • Hur beräknas centripetalaccelerationen? (4x)

    $a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2r}{T^2}=4\pi^2rf^2=\omega^2r$

    $v$ är hastigheten i banan (m/s),

    $r$ är banans radie (m),

    $T$ är omloppstiden (s)

    $f$ är frekvensen (Hz),

    $\omega$ är vinkelhastigheten (rad/s)

  • Hur beräknas centripetalkraften? (5x)

    $F=m\cdot a_c=\frac{mv^2}{r}=\frac{4\pi^2mr}{T^2}=4\pi^2mrf^2=m\omega^2r$

    $m$ är föremålets massa (kg),

    $v$ är hastigheten i banan (m/s),

    $r$ är banans radie (m),

    $T$ är omloppstiden (s)

    $f$ är frekvensen (Hz),

    $\omega$ är vinkelhastigheten (rad/s)

  • Vad är kraftekvationen?

    Newtons andra lag: $F=ma$

  • Är centripetalkraften "en egen kraft"?

    Nej! Det är en resulterande kraft som råkar peka in mot en cirkelbanas centrum

  • Vad är omloppstid/periodtid? Hur betecknas den?

    Den tid det tar ett föremål att genomföra ett varv av en cirkulär bana.

    Betecknas $T$

  • Vad är frekvens i relation till centralrörelse? Hur betecknas den?

    Antal varv ett föremål gör per tidsenhet. Om tidsenheten är sekund får frekvensen enheten Hertz (Hz)

    Betecknas $f$

  • Vad är relationen mellan frekvens och periodtid?

    $f=\frac{1}{T}$

  • Vad är vinkelhastighet/rotationshastighet? Hur betecknas den och vilken enhet har den?

    Vinkeländringen per tidsenhet.

    Betecknas $\omega$ (omega) Enhet: radianer per sekund = $\frac{\mathrm{rad}}{s}$

    

  • Hur beräknas vinkelhastigheten?

    $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$

    

  • Förändras vinkelhastigheten med hur långt bort från centrum man är om periodtiden är densamma?

    Nej! Vinkeln förblir densamma - däremot måste farten måste vara annorlunda!

  • Hur beräknas vinkeln $\alpha$ i en centralrörelse med konstant vinkelhastighet?

    $\alpha = \omega \cdot t$

    Där $\omega$ är vinkelhastigheten och $t$ är tiden

  • Hur beräknas farten med hjälp av vinkelhastigheten, periodtiden och frekvensen?

    $v=\omega\cdot r=\frac{2\pi r}{T}=2\pi rf$

    $\omega$ - vinkelhastighet (vinkelfrekvens)

    $T$ - periodtid

    $f$ - frekvens

    $r$ - cirkelbanans radie

    Radien finns med hela tiden! Farten beror på radien!

  • Ett föremål rör sig inte nödvändigtvis åt det håll dit den resulterande kraften är riktad, utan:

    åt det håll dit hastigheten är riktad. Hastigheten kan vara riktad åt ett helt annat håll än den resulterande kraften. Krafter gör att hastigheten ändras.

  • Finns centrifugalkrafter?

    Nej! Det är tröghetslagen som gör att föremål vill fortsätta i sin bana. Att man åker av från en karusell är snarare att en tillräcklig centripetalkraft saknas.

  • Rita kraftsituationen när ett föremål befinner sig i botten och toppen av sin cirkelbana:

    

• Gravitation och Keplers lagar

  • Vem var Johannes Kepler?

    Tysk astronom som hittade matematiska samband i astronomiska data från Tycho Brahe.

  • Vad är Keplers första lag?

    Planeterna i vårt solsystem rör sig i ellipser, där solen befinner sig i ellipsens ena brännpunkt.

    

  • Vad är Keplers andra lag?

    Planeten rör sig i sin ellips med sådan hastighet att en rät linje dragen från planeten till solen sveper över lika stora areor på lika lång tid.

    

  • Vad är Keplers tredje lag?

    Om $T$ är planetens omloppstid runt solen och $r$ är medelavståndet till solen, så har uttrycket $\frac{T^2}{r^3}$ samma värde för alla planeterna.

    $\frac{T^2}{r^3} = \mathrm{konstant\ 1}$

    $\frac{r^3}{T^2} = \mathrm{konstant\ 2}$

  • Vad är AU och hur mycket är 1 AU?

    AU = Astronomisk enhet = medelavståndet från jorden till solen.

    $1\mathrm{AU}=1.496\cdot10^{11}$

  • Hur lyder gravitationslagen?

    Om två föremål med massorna $m_1$ och $m_2$ befinner sig på avståndet $r$ från varandras tyngdpunkter så attraheras de av varandra med en kraft $F$

    

• Kaströrelse

  • Vad är elevationsvinkel eller kastvinkel?

    Vinkeln mot horisontalplanet, betecknas $\alpha$

    

  • Stigtid

    Hur lång tid det tar för det kastade föremålet att nå hösta punken.

    

  • Stighöjd

    Den hösta punktens höjd $y_{\mathrm{max}}$

    

  • Kastvidd

    kastländen $x_{\mathrm{max}}$ vilket är avståndet i horisontell led från utkastpunkten till nedslagspunkten.

    

  • Begynnelsehastighet

    Hastighetens initiala hastighet. Betecknas $v_0$

    $v_{0x}=v_0\cos\alpha_0$

    $v_{0y}=v_0\sin\alpha_0$

  • Rätlinjig rörelse

    Att ett föremål rör sig i en dimension längs en rak linje

    

  • Kroklinjig rörelse

    Att ett föremål rör sig i flera dimensioner. Kaströrelse är ett exempel.

    

Tänk på!

Hävarmar och tyngdpunkt

• Tyngdpunkten strävar alltid efter att hamna så lågt som möjligt. Är tyngdpunkten utanför en stödyta kommer därmed föremålet att falla.

• För att ett föremål ska vara i jämvikt måste det både råda kraftjämvikt och momentjämvikt.

• Hävarmen måste alltid vara vinkelrät mot kraften.

Cirkelrörelser

• Centripetalkraft är det vi kallar en resulterande kraft som pekar in mot mitten i en cirkelbana.

• Viktigt! Rita aldrig ut centripetalkraften i en figur - centripetalkraften är ingen ny kraft utan bara summan av alla krafter som verkar på föremålet!

• Om vi har ett föremål som rör sig med konstant fart längs en cirkelbana påverkas detta av en centripetalkraft (en resulterande kraft, resultanten av alla krafter) som vi kan bestämma med $F_c=\frac{mv^2}{r}$ (med variationer).

• Tänk på att dela med radien och inte med två!!

• Ett föremål rör sig i den riktningen hastigheten pekar och inte nödvändigtvis åt det hållet den resulterande kraften pekar. Krafter kan förändra hastigheter.

• Centrifugalkrafter finns inte. De är snarare avsaknaden av en centripetalkraft som behåller föremålet i sin cirkelbana. Varje föremål har en tröghet som gör att man vill fortsätta med samma hastighet längs en rät linje.

• Tips! En centripetalkraft i botten av en cirkelrörelse utgörs ofta av en normalkraft eller dragkraft medan en centripetalkraft i toppen oftast utgörs av tyngdkraften.

• Trots att planeter egentligen rör sig i ellipser kan vi göra en förenkling och tänka att de går i cirkelbanor. Det gör att gravitationskraften kan ses som en centripetalkraft!

• Gravitationskraften verkar mellan två föremål och är lika stor mellan dem!

• Man kan tänka att vinkelhastigheten är hur många radier vi åker per sekund. För att få ut hastigheten i meter per sekund tar vi därmed $v=\omega r$, alltså vinkelhastigheten gånger radien.

Kaströrelse

• En kaströrelse kan ses som kombinationen av två oberoende rörelser: en lodrät rörelse med konstant acceleration och en vågrät rörelse med konstant hastighet.

• Rörelsen i x-led är oberoende den i y-led vilket gör att vi kan räkna på dessa separat. Detta medför också att en kula som släpps från samma höjd som en likadan kula som skjuts ut rakt horisontellt kommer att träffa marken samtidigt! Detta på grund av att de båda enbart påverkas av en tyngdkraft i y-led.

• Varför är den optimala vinkeln 45 grader för att komma så långt som möjligt? I formeln för kastvidd ($x_{max}$) ingår $\sin 2\alpha$. Som max kan $\sin$ vara 1, därmed ska $2\alpha=90\degree \implies \alpha=45\degree$

• Tiden är ofta nyckeln till lösningen - hitta den eller ett uttryck för den!

• Tips! Använd Geogebra!

Fundera och Diskutera

• Du sitter på passagerarplatsen i en bil när föraren plötsligt gör en skarp sväng åt vänster. Du flyger då iväg mot höger dörr. Varför? Vilka krafter verkar på dig i detta ögonblick? Förklara.

• Varför skjuter man upp raketer från ekvatorn?

• Hur ser kraftsituationen ut när man åker med ett pariserhjul?